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用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系题库 - 刷刷题
用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系题库
题数
1139
考试分类
高中数学>用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
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简介
高中数学-用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/1139]如图所示,直线 【图片】垂直于⊙ 【图片】所在的平面, 【图片】内接于⊙ 【图片】,且 【图片】为⊙ 【图片】的直径,点 【图片】为线段 【图片】的中...
参考答案:
B
参考解析:

对于结论①,由于 是以 为直径的圆 上一点,所以 ,因为 平面 ,于是可以得到 ,结合直线与平面垂直的判定定理可以得到 平面 ,因此 ,所以结论①正确;对于结论②,由于 分别为 的中点,由中位线原理可知 ,利用直线与平面平行的判定定理可以得到 平面 ,所以结论②正确;对于结论③,由结论①知, 平面 ,所以结论③正确,故选B.
【简答题】
[2/1139](满分14分)如图在三棱锥 【图片】中, 【图片】分别为棱 【图片】的中点,已知 【图片】, 【图片】求证(1)直线 【图片】平面 【图片】; (2)...
参考答案:
证明见解析.
参考解析:

(1)本题证明线面平行,根据其判定定理,需要在平面 内找到一条与 平行的直线,由于题中中点较多,容易看出 ,然后要交待 在平面 外, 在平面 内,即可证得结论;(2)要证两平面垂直,一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直,由(1)可得 ,因此考虑能否证明 与平面 内的另一条与 相交的直线垂直,由已知三条线段的长度,可用勾股定理证明 ,因此要找的两条相交直线就是 ,由此可得线面垂直.
(1)由于 分别是 的中点,则有 ,又 ,所以
(2)由(1) ,又 ,所以 ,又 中点,所以 ,所以 ,所以 是平面 内两条相交直线,所以 ,又 ,所以平面 平面
【考点】线面平行与面面垂直.
【简答题】
[3/1139]如图,正方形 【图片】所在平面与圆 【图片】所在的平面相交于 【图片】,线段 【图片】为圆 【图片】的弦, 【图片】垂直于圆 【图片】所在的平面,垂足...
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
参考解析:

(1)证明平面 平面 ,即证明 平面 ,转化为证明直线 与平面 内的两条相交直线垂直;(2)立体几何中求空间角的方法有两种,一是常规法,找出(或作出)适合题意的角;证明找出的角符合对应角的要求;求出相关角的大小(或三角函数值).二是用向量法,即先确定两个向量(直线的方向向量或平面的法向量)求两个向量夹角的余弦值,注意确定所求的夹角与向量夹角的关系,最后得出所求的角或角的三角函数值.
(1) 所在的平面, 在圆 所在的平面上,
又在正方形 中, 平面
平面 平面 平面 .
(2) 平面 平面 ,即 为圆 的直径,
,且
以点 为坐标原点,分别以 轴、 轴,以垂直于底面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系,则


由此得
设平面 的一个法向量 ,则 ,即
,则 ,又平面 的一个法向量为

于是 ,即 .
【简答题】
[4/1139]已知 【图片】为直线, 【图片】为平面,给出下列命题: 【图片】① 【图片】 ② 【图片】 ③ 【图片】 ④ 【图片】 ...
参考答案:
B
参考解析:
【简答题】
[5/1139]如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点 【图片】(1)若PA=2,求直线AE与PB所...
参考答案:
(1) ;(2)  
参考解析:

(1)首先建立空间直角坐标系,给出相关点的坐标,利用空间向量求解;(2) 利用空间向量求解平面的法向量,然后根据法向量互相垂直可证明
(1)如图,取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC 以A为坐标原点,过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系

则A(0,0,0),B(,1,0), C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
从而=(,1, 2), =(0,1,1)  
设直线AE与PB所成角为θ,
则cosθ=||=
即直线AE与PB所成角的余弦值为                5分
(2)如上图,则
A(0,0,0),B(,1,0), C(0,2,0),P(0,0,),E(0,1, ),
设平面PBC的法向量为 ,则

,则 ,所以
同理可求平面ADE的法向量
所以 ,即
于是平面ADE⊥平面PBC
【简答题】
[6/1139]如图,在正三棱柱 【图片】中, 【图片】, 【图片】分别为 【图片】, 【图片】的中点. 【图片】(1)求证: 【图片】平面 【图片】; (2)求证:...
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
参考解析:

(1)要证线面平行,需有线线平行.由 分别为 的中点,想到取 的中点 ;证 就成为解题方向,这可利用平行四边形来证明.在由线线平行证线面平行时,需完整表示定理条件,尤其是线在面外这一条件;(2)要证面面垂直,需有线面垂直.由正三棱柱性质易得底面 侧面 ,从而 侧面 ,而 ,因此有线面垂直: .在面面垂直与线面垂直的转化过程中,要注意充分应用几何体及平面几何中的垂直条件.
(1)连 于点 中点,
中点,
四边形 是平行四边形,               4分
,又 平面 平面 平面 .  7分
(2)由(1)知 中点,所以 ,所以 ,  9分
又因为 底面 ,而 底面 ,所以
则由 ,得 ,而 平面 ,且
所以 ,                               12分
平面 ,所以平面 平面 .         14分
【简答题】
[7/1139]E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则AC与平面EFGH的位置关系是    &nbs...
参考答案:
平行
参考解析:
解:利用三角形的中位线平行于底边,我们可以得到线线平行,再利用线面平行的判定定理得到结论。
【简答题】
[8/1139]如图, 【图片】是 【图片】的直径, 【图片】垂直于 【图片】所在的平面, 【图片】是圆周上不同于 【图片】的任意一点,则图中直角三角形有  ...
参考答案:
4个
参考解析:

平面 ,则 是直角三角形; 的直径, 是圆周上不同于 的任意一点,所以 是直角三角形;又 平面 ,则 是直角三角形;故直角三角形有4个.
【简答题】
[9/1139]如图. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,A 1B 1= A 1C 1,点D、E分别是棱BC,CC 1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F...
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
参考解析:

(1)由面面垂直的判定定理可知:要证两个平面互相垂直,只须证明其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可;观察图形及已知条件可知:只须证平面ADE内的直线AD与平面BCC 1B 1垂直即可;而由已知有: AD⊥DE,又在直三棱柱中易知CC 1⊥面ABC,而AD 平面ABC,  CC 1⊥AD,从而有AD⊥面B CC 1 B 1,所以有平面ADE⊥平面BCC 1B 1;(2)由线面平行的判定定理可知:要证线面平行,只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可;不难发现只须证明A 1F∥AD,由(1)知AD⊥面B CC 1 B 1,故只须证明A 1F⊥平面BCC 1B 1,这一点很容易获得.
(1) ABC—A 1B 1C 1是直三棱柱, CC 1⊥面ABC,
又AD 平面ABC,  CC 1⊥AD
AD⊥DE,CC 1,DE 平面B CC 1B 1,CC 1∩DE=E
AD⊥面B CC 1 B 1又AD 面ADE
平面ADE⊥平面BCC 1B 1                 6分
(2)  A 1B 1= A 1C 1,F为B 1C 1的中点, AF⊥B 1C 1
       CC 1⊥面A 1B 1C 1且A,F 平面A 1B 1C 1
 CC 1⊥A、F
又CC 1,A,F 平面BCC 1B 1,CC 1∩B 1C 1= C 1
 A 1F⊥平面BCC 1B 由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1
 A 1F∥AD,又AD 平面ADE,A 1F 平面ADE
 A 1F∥平面ADE                12分
【简答题】
[10/1139]在四棱锥 P- ABCD中,底面 ABCD是边长为1的正方形,且 PA⊥平面 ABCD. 【图片】  (1)求证: PC⊥ BD; (2)过...
参考答案:
(1)见解析(2)
参考解析:
(1)连接 AC,因为四边形 ABCD是正方形,所以 BDAC.因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PABD.
ACPAA,所以 BD⊥平面 PAC.
PC⊂平面 PAC,所以 PCBD.
(2)解 ①设 PAx,三棱锥 EBCD的底面积为定值,在△ PBC中,易知 PBPC
BC=1,故△ PBC直角三角形.又 BEPC,得 EC,可求得该三棱锥的高 h.
当且仅当 x,即 x时,三棱锥 EBCD的体积取到最大值,所以 h.
此时四棱锥 EABCD的高为 .
②以点 A为原点, ABADAP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), P(0,0, ),易求得 CE CP.
所以 =(0,1,0).
设平面 ADE的法向量 n 1=( xyz),则
,令 x,则 n 1=( ,0,-3),
同理可得平面 BDE的法向量 n 2=(-1,-1, ),所以cos〈 n 1n 2〉= =- .所以sin〈 n 1n 2〉= .所以二面角 ADEB的正弦值的大小为 .
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