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双曲线的标准方程及图象题库 - 刷刷题
双曲线的标准方程及图象题库
题数
420
考试分类
高中数学>双曲线的标准方程及图象
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简介
高中数学-双曲线的标准方程及图象
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/420]若双曲线焦点为(5,0),渐近线方程为y=± x2,则此双曲线的标准方程为______.
参考答案:
设双曲线的标准方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1

c=
5
 
b
a
=
1
2
a2+b2=c2
,解得a=2,b=1,
所以双曲线的标准方程为
x2
4
-y2=1

故答案为
x2
4
-y2 =1
参考解析:
x2 a2
【简答题】
[2/420]双曲线 【图片】的一条渐近线方程是 【图片】,坐标原点到直线AB的距离为 【图片】,其中A(a,0),B(0,﹣b).(1)求双曲线的方程;(2)若B...
参考答案:
解:(1)∵A(a,0),B(0,﹣b),
∴设直线AB:
,∴
∴双曲线方程为:
(2)∵双曲线方程为:
,设P(x0,y0),

==3.
B(0,﹣3)B1(0,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2
∴设直线l:y=kx﹣3,

∴3x2﹣(kx﹣3)2=9.(3﹣k2)x2+6kx﹣18=0,




k2=5,即代入(1)有解,
参考解析:
【简答题】
[3/420]双曲线与椭圆x227+ y236=1有相同焦点,且经过点(15,4),求其方程.
参考答案:
椭圆
y2
36
+
x2
27
=1
的焦点为(0,±3),c=3,…(3分)
设双曲线方程为
y2
a2
-
x2
9-a2
=1
,…(6分)
∵过点(
15
,4),则
16
a2
-
15
9-a2
=1
,…(9分)
得a2=4或36,而a2<9,∴a2=4,…(11分)
双曲线方程为
y2
4
-
x2
5
=1
.…(12分)
参考解析:
y236
【简答题】
[4/420]已知双曲线x2a2- y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),右焦点为F、O为坐标原点,点F,A到渐近线的距离之比为52,过点B(0,2...
参考答案:
(I)由题意,a=2
根据三角形相似,可得点F,A到渐近线的距离之比为
|OF|
|OA|
=
c
a
=
5
2

∴c=
5
,∴b=
c2-a2
=1
∴双曲线的方程为
x2
4
-y2=1

设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线方程,可得(4k2-1)x2+16kx+20=0
∵过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80(4k2-1)>0,即k2
1
4
k2
5
4

解得-
5
2
<k<
5
2
且k≠±
1
2

(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
-16k
4k2-1

OP
+
OQ
=(x1+x2,y1+y2),
AB
=(-2,2),
OP
+
OQ
AB
垂直
∴-2(x1+x2)+2(y1+y2)=0
∴(x1+x2)(k-1)+4=0
-16k(k-1)
4k2-1
+4=0
∴k=
1
4

∴存在常数k=
1
4
,使得向量
OP
+
OQ
AB
垂直.
参考解析:
|OF||OA|
【简答题】
[5/420]中心在原点,有一条渐近线方程是2x+3y=0,对称轴为坐标轴,且过点(2,2)的双曲线方程是(  ) A. 【图片】 B. 【图片】 C. 【图片】 ...
参考答案:
C
参考解析:
【简答题】
[6/420]设动点P到两定点F1(-1,0 )和F2(1,0 ) 的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=...
参考答案:
解:(1)在中,


(小于2的常数),
故动点P的轨迹C是以为焦点,实轴长的双曲线,
方程为
(2)在中,设
假设为等腰直角三角形,则

由②与③得

由⑤得



故存在满足题设条件。
参考解析:
【简答题】
[7/420]设P为双曲线 【图片】上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是(    )。
参考答案:
x2-4y2=1
参考解析:
【简答题】
[8/420]A村在C村正北3km处,B地在C村正西16km处,已知弧形公路PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km.(1)如图,以BC中点O为原点,建立坐标系,...
参考答案:
(1)(6分)以线段BC所在直线为x轴,其垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
∵PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km
由双曲线定义,PQ所在曲线为双曲线的右支,
B、C为焦点,c=8,a=4
∴b2=c2-a2=64-16=48,…(4分)
∴所求方程为:
x2
16
-
y2
48
=1
(x>0)…(6分)(没有范围扣1分)
(2)(7分)依题意,即求2|MA|+|MC|的最小值…(1分)
由第二定义
|MC|
d
=e=
c
a
=
8
4
=2
(d为M到右准线的距离)
∴|MC|=2d,过A作AN垂直于右准线于N,
设t=2|MA|+|MC|=2(|MA|+d)≥2|AN|.则当M为AN与双曲线交点时,t最小…(3分)
∵A(8,
参考解析:
x216
【简答题】
[9/420]△ABC的顶点B(-4,0),C(4,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=1上,则顶点A的轨迹方程是______.
参考答案:
如图所示,|AB|-|AC|=|BD|-|CD|=4+1-(4-1)=2<8=|BC|,
因此点A在以B,C两点为焦点,1为实半轴长的双曲线x2-
y2
15
=1
(x>1)上.
故答案为:x2-
y2
15
=1
(x>1).
参考解析:
y215
【简答题】
[10/420]若双曲线经过点(3, 2),且渐近线方程是y=± 13x,则这条双曲线的方程是______.
参考答案:
根据题意,双曲线的渐近线方程是y=±
1
3
x

则可设双曲线的标准方程为
x2
9
-y2 =λ
,(λ≠0);
又因为双曲线经过点(3,
2
)

代入方程可得,λ=-1;
故这条双曲线的方程是y2-
x2
9
=1

故答案为:y2-
x2
9
=1
参考解析:
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