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向量数量积的运算题库 - 刷刷题
向量数量积的运算题库
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922
考试分类
高中数学>向量数量积的运算
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简介
高中数学-向量数量积的运算
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题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/922]平面向量a=(x,y), b=(x2,y2), c=(1,1), d=(2,2),若 a• c= b• d=1,则这样的向量a有(  ) A.1个B....
参考答案:
因为
a
=(x,y),
b
=(x2y2),
c
=(1,1),
d
=(2,2)
,并且
a
c
=
b
d
=1

所以
a
c
=x+y=1,
b
d
=2x2+2y2=1

所以由点到直线的距离公式可得:圆心到直线的距离为
2
2
=r,
所以直线与圆相切,即直线与圆只有一个交点,
所以向量
a
有1个.
故选A.
参考解析:
a
【简答题】
[2/922]已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点,且|AB|=1,则AB•OA等于(  ) A.12B.-12C.32D.-32
参考答案:
A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点,且|
AB
|=1,∴∠AOB=60°.
AB
OA
=(
OB
-
OA
OA
=
OB
OA
-
OA
2
=1×1cos60°-1=-
1
2

故选B.
参考解析:
AB
【简答题】
[3/922]已知椭圆Γ的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点,|AB|=2,且∠AOB=π2.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若...
参考答案:
(1)依题意,设直线l:x+
3
y=
3
与椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由∠AOB=
π
2
,知x1x2+y1y2=0,而x1=
3
(1-y1),x2=
3
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0①
由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,
不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②
将②式代入①式求得:
y1=0
y2=1
y1=
1
2
y2=
3
2

∴A(
3
2
1
2
),B(-
3
2
3
2
)或A(
3
,0),B(0,1),
又A(
3
2
1
2
),B(-
3
2
3
2
)不合题意,舍去.
∴A(
3
,0),B(0,1),
故所求椭圆Γ的方程为
x2
3
+y2=1.
(2)由题意知M、N是椭圆
x2
3
+y2=1上的两点,且OM⊥ON,
故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),
于是r12
cos2θ
3
+sin2θ)=1,r22
sin2θ
3
+cos2θ)=1,
又(r12+r22)(
1
r 21
+
1
r 22
)=2+
r 21
r 22
+
r 22
r 21
≥4,
从而|MN|2
4
3
≥4,即|MN|≥
3

故所求|MN|的最小值为
3
参考解析:
3
【简答题】
[4/922]△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且2 OA+ AB+ AC= 0,| OA|=| AB|,则CA• CB=______.
参考答案:
2
OA
+
AB
+
AC
=
0
,∴
OA
+
AB
+
OA
+AC
=
0
,∴
OB
=-
OC

∴O,B,C共线,BC为圆的直径,∴AB⊥AC.
|
OA
|=|
AB
|
,∴|
OA
|=|
AB
|
=1,|BC|=2,|AC|=
3
,故∠ACB=
π
6

CA
CB
=
3
×2cos
π
6
=3,
故答案为:3.
参考解析:
OA
【简答题】
[5/922]已知平行四边形OABC中(O为原点), 【图片】=(2,1), 【图片】=(1,2),则 【图片】· 【图片】=(  ) A.0 B.2 C.4 D....
参考答案:
A
参考解析:
【简答题】
[6/922]设 【图片】是单位向量,且 【图片】,则 【图片】的值为 (    ).
参考答案:
参考解析:
【简答题】
[7/922]设a,b,c均为单位向量,且a⊥ b,则( a+ c)•( b+ c)的最小值为(  ) A.-1B.1- 2C.2-2D.-2
参考答案:
a
b
c
均为单位向量,且
a
b

不妨设
a
=(1,0),
b
=(0,1),
c
=(cosθ,sinθ),
(
a
+
c
)•(
b
+
c
)
=cosθ2+sinθ2+cosθ+sinθ=1+(cosθ+sinθ)=1+
2
sin(θ+
π
4
),
∵-1≤sin(θ+
π
4
)≤1,
∴1-
2
(
a
+
c
)•(
b
+
c
)
≤1+
2

故选B.
参考解析:
a
【简答题】
[8/922]设点P为△ABC的重心,若AB=2,AC=4,则AP• BC=______.
参考答案:
AP
BC
=(
BA
+
AC
)•
AP
=(
BA
+
AC
)•
1
3
AB
+
AC

=
1
3
AC
2
-
AB
2

=
1
3
(16-4)
=4
故答案为:4
参考解析:
AP
【简答题】
[9/922]已知平面上三个向量|a|=|b|=|c|=2,它们之间的夹角都是120°.(I)求a•c的值.(II)求证:(a-b)⊥c.
参考答案:
(I)
a
c
=|
a
||
c
|cos120°=2×2×(-
1
2
)=-2

(II)∵(
a
-
b
c
=
a
c
-
b
c
=|
a
||
c
|cos120°
-|
b
||
c
|cos120°

=2×2×(-
1
2
)
-2×2×(-
1
2
)
=0
∴(
a
-
b
)⊥
c
参考解析:
a
【简答题】
[10/922]如图所示,已知圆E:x2+(y﹣1)2=4交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.(1)若弦MN所在直线的斜率为2,求弦M...
参考答案:
解:(1)在圆E的方程中令x=0,得M(0,﹣1),
又KMN=2,
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x,即2x﹣y﹣1=0.
∵圆心到直线MN的距离为,且r=2,

(2)因为yM+yN=0,所以yN=1,代入圆E的方程中得N(±2,1).
由M(0,﹣1),N(±2,1)得
直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0.
(3)易得
设P(x,y),则由PAPB=PO2,得

化简得
由题意知点P在圆E内,所以x2+(y﹣1)2<4,
结合①,4y2﹣4y﹣3<0,
解得
从而=
参考解析:
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