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数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）题库 - 刷刷题
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）题库
题数
2000
考试分类
高中数学>数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
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简介
高中数学-数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/2000]各项都为正数的数列 【图片】，其前 【图片】项的和为 【图片】，且 【图片】，若 【图片】，且数列 【图片】的前 【图片】项的和为 【图片】，则 【图...
参考答案：
参考解析：

本题涉及涉及到数列的前 和 的关系，一般要用到关系式 ，由 得 ，所以 ，于是 ， 时， ，化简得： ，即 ，由于数列 各项为正，故 ，又 ，即 ，因此数列 是等差数列，公比为 ，所以 ． ，
． 与 的关系，裂项相消求和．
【简答题】
[2/2000]数列{an}的前n项和Sn=n（2n-1）an，并且a1= 13，（1）求数列{an}的通项公式．（2）判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性，...
参考答案：
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（2n-1）an-（n-1）（2n-3）an-1，得
an
an-1
=
2n-3
2n+1
∴
a2
a1
a3
a2
a4
a3
a5
a4
…
an-1
an-2
an
an-1
=
1
5
×
3
7
×
5
9
×
7
11
…
2n-5
2n-1
×
2n-3
2n+1

又a1=
1
3
得an=
1
(2n-1)(2n+1)

（2）因为Sn=n（2n-1）an=
n
2n+1
，Sn+1-Sn=
n+1
2n+3
-
n
2n+1
=
1
(2n+1)(2n+3)
＞0对于任意的正整数都成立，所以Sn+1＞Sn，即前n项和Sn组成的新数列{Sn}为递增数列．
参考解析：
an an-1
【简答题】
[3/2000]已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求{an}的通项；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
参考答案：
（1）∵a4=a1+3d
∴d=-3
∴an=28-3n
（2）∵28-3n＜0∴n＞9
1
3

∴数列{an}从第10项开始小于0
∴|an|=|28-3n|=
28-3n，(n≤9)
3n-28，(n≥10)

当n≤9时，|a1|+|a2|+…+|an|=
|a1|+|an|
2
•n=
25+28-3n
2
•n=
53n-3n2
2
，
当n≥10时，|a1|+|a2|+…+|an|=（|a1|+|a2|+…+|a9|）+（|a10|+|a11|+…+|an|）
=
|a1|+|a9|
2
•9+
|a10|+|an|
2
•(n-9) =
25+1
2
•9+
2+3n-28
2
•(n-9)
=117+
(3n-26)(n-9)
2

=
3n2-53n+468
2

∴|a1|+|a2|+…+|an|=
53n-3n2
2
，(n≤9)
3n2-53n+468
2
，(n≥10)
参考解析：
13
【简答题】
[4/2000]对于一个有限数列A：a1，a2，…an，定义A的蔡查罗和（蔡查罗是数学家）为1n(S1+S2+…Sn)，其中Sk=a1+a2+…ak（1≤k≤n）．若...
参考答案：
∵S1=a1，Sn=a1+a2+…+an，
∴S1+S2+S3+…+Sn=na1+（n-1）a2+（n-2）a3+…+2an-1+an，
对于数列a1，a2，…，a99的蔡查罗和为1000
∴S1+S2+S3+…+S99=99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=1000n=99000，
对于数列2，a1，a2，…，a99
S1+S2+S3+…+S100=200+99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=99200；
所以数列2、a1、a2、a3、…、a99的蔡查罗和为992．
故选B．
参考解析：
无
【简答题】
[5/2000]已知xi＞0(i=1，2，3，…10)，且 【图片】xi=1，则T= 【图片】 【图片】的最小值为（    ）...
参考答案：
100
参考解析：
无
【简答题】
[6/2000]数列{an}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3)，其前n项和为Sn，（1）求Sn；（2）bn= S3nn•4n，求数列{bn}的前n项和...
参考答案：
（1）由于cos2
nπ
3
-sin2
nπ
3
=cos
2nπ
3
，an=n2•cos
2nπ
3

故S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k-2+a3k-1+a3k）
=(-
12+22
2
+32)+(-
42+52
2
+62)+…+[-
(3k-2)2+(3k-1)2
2
+(3k)2]
=
13
2
+
31
2
+…+
18k-5
2
=
k(4+9k)
2

S3k-1=S3k-a3k=
k(4-9k)
2
，
S3k-2=S3k-1-a3k-1=
k(4-9k)
2
+
(3k-1)2
2
=
1
2
-k=-
3k-2
3
-
1
6
，
故Sn=
-
n
3
-
1
6
n=3k-2
(n+1)(1-3n)
6
n=3k-1
n(3n+4)
6
n=3k
（k∈N*）
（2）bn=
S3n
n•4n
=
9n+4
2•4n
，
Tn=
1
2
[
13
4
+
22
42
++
9n+4
4n
]，
4Tn=
1
2
[13+
22
4
++
9n+4
4n-1
]，
两式相减得3Tn=
1
2
[13+
9
4
+…+
9
4n-1
-
9n+4
4n
]=
1
2
[13+
9
4
-
9
4n
1-
1
4
-
9n+4
4n
]=8-
1
22n-3
-
9n
22n+1
，
故Tn=
8
3
-
1
3•22n-3
-
3n
22n+1
．
参考解析：
无
【简答题】
[7/2000]已知数列 【图片】的前 【图片】项和 【图片】(1)求数列的通项公式；      (2)求 【图片】...
参考答案：
（1）  
（2）-7
参考解析：

（1）  -5
时   =
= 2n-6
       
（2）根据题意，由于数列的前3项为非负数，则可知从第4项开始为正数，引起可知数列有最小值，当n=3,n=2时数列的前n项和达到最小，且为(-5)+(-2)+0=-7,因此答案为-7.
点评：主要是考查了等差数列的通项公式与前n项和的关系式的运用，属于基础题。
【简答题】
[8/2000]已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2．（1）求数列{an}的通项公式an；（2...
参考答案：
（1）∵a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，
∵an＞0，
∴an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
∴an+1-an=1，又a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）由（1）知an=n，则
1
anan+2
=
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
）．
∴Sn=
1
a1a3
+
1
a2a4
+
1
a3a5
+…+
1
an-1an+1
+
1
anan+2

=
1
2
[（1-
1
3
）+（
1
2
-
1
4
）+（
1
3
-
1
5
）+…+（
1
n-1
-
1
n+1
）+（
1
n
-
1
n+2
）]
=
1
2
（1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
）
=
3
4
-
1
2
（
1
n+1
+
1
n+2
）．
∵Sn+1-Sn=
1
(n+1)(n+3)
＞0，
∴数列{Sn}单调递增，
∴（Sn）min=S1=
1
3
．
要使不等式Sn＞
1
3
loga（1-a）对任意正整数n恒成立，只要
1
3
＞
1
3
loga（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜
1
2
．
参考解析：
1 anan+2
【简答题】
[9/2000]各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=( an+12)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1a1a2+ 1a2a3+…+ 1anan+1...
参考答案：
（1）∵Sn=(
an+1
2
)2，
∴Sn-1=(
an-1+1
2
)2，n≥2，
两式相减得an=(
an+1
2
)2-(
an-1+1
2
)2，n≥2，…（2分）
整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an-an-1=2，n≥2，∴{an}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(
a1+1
2
)2得a1=1，∴an=2n-1．…（5分）
（2）由题意得k＞(
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
)max，
∵
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
) ，
∴
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)＜
1
2
…（8分）∴k≥
1
2
…（10分）
（3）对任意m∈N+，2m＜2n-1＜22m，则2m-1+
1
2
＜n＜22m-1+
1
2
，
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
2-22m+1
1-22
-
1-2m
1-2
=
22m+1-2
3
-(2m-1)=
22m+1-3•2m+1
3
，
即Sm=
22m+1-3•2m+1
3
．…（16分）
参考解析：
an+12
【简答题】
[10/2000]设数列{an}的通项an=（-1）n-1•n，前n项和为Sn，则S2010=（　　） A．-2010B．-1005C．2010D．1005
参考答案：
S2010=1+（-2）+3+（-4）+…+2009+（-2010）
=[1+（-2）]+[3+（-4）]+…+[2009+（-2010）]
=（-1）•
2010
2
=-1005．
故选B．
参考解析：
无
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