解：因为A ，B ，
故当 取最小值时， 的值等于

略

(1)∵ BB ₁⊥ A ₁ E， CC ₁⊥ A ₁ F， BB ₁∥ CC ₁
∴ BB ₁⊥平面 A ₁ EF
即面 A ₁ EF⊥面 BB ₁ C ₁ C
在Rt△ A ₁ EB ₁中，
∵∠ A ₁ B ₁ E=45°， A ₁ B ₁= a
∴ A ₁ E= a,同理 A ₁ F= a,又 EF= a，∴ A ₁ E= a
同理 A ₁ F= a,又 EF= a
∴△ EA ₁ F为等腰直角三角形，∠ EA ₁ F=90°
过 A ₁作 A ₁ N⊥ EF，则 N为 EF中点，且 A ₁ N⊥平面 BCC ₁ B ₁
即 A ₁ N为点 A ₁到平面 BCC ₁ B ₁的距离
∴ A ₁ N=
又∵ AA ₁∥面 BCC ₁ B， A到平面 BCC ₁ B ₁的距离为
∴ a=2，∴所求距离为2
(2)设 BC、 B ₁ C ₁的中点分别为 D、 D ₁，连结 AD、 DD ₁和 A ₁ D ₁，则 DD ₁必过点 N，易证 ADD ₁ A ₁为平行四边形.
∵ B ₁ C ₁⊥ D ₁ D, B ₁ C ₁⊥ A ₁ N
∴ B ₁ C ₁⊥平面 ADD ₁ A ₁
∴ BC⊥平面 ADD ₁ A ₁
得平面 ABC⊥平面 ADD ₁ A ₁，过 A ₁作 A ₁ M⊥平面 ABC，交 AD于 M，
若 A ₁ M= A ₁ N，又∠ A ₁ AM=∠ A ₁ D ₁ N，∠ AMA ₁=∠ A ₁ ND ₁=90°
∴△ AMA ₁≌△ A ₁ ND ₁,∴ AA ₁= A ₁ D ₁= ,即当 AA ₁= 时满足条件.

如图（１）为折叠前对照图，图（2）为折叠后空间图形，
平面 平面 ，
又 ， 平面 ．
． 中，
， ，
故 ，
当 时， 取得最小值 ．
（2） ， ， 在等腰△ 中，
由余弦定理得 ．
即 ，当 时， 取得最小值 ．
 

略

分析：根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合．从而得出正确选项．
解答：解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，
根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．
A的图象为直线的图象，排除A．
C项中B不是抛物线的焦点，排除C．
D项不过A点，D排除．
故选B．
点评：本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．

考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案