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向量数量积的运算题库
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922
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高中数学>向量数量积的运算
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简介
高中数学-向量数量积的运算
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题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/922]平面向量a=(x，y)， b=(x2，y2)， c=(1，1)， d=(2，2)，若 a• c= b• d=1，则这样的向量a有（　　） A．1个B．...
参考答案：
因为
a
=(x，y)，
b
=(x2，y2)，
c
=(1，1)，
d
=(2，2) ，并且
a
•
c
=
b
•
d
=1 ，
所以
a
•
c
=x+y=1，
b
•
d
=2x2+2y2=1 ，
所以由点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离为
2
2
=r，
所以直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点，
所以向量
a
有1个．
故选A．
参考解析：
a
【简答题】
[2/922]已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|AB|=1，则AB•OA等于（　　） A．12B．-12C．32D．-32
参考答案：
A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|
AB
|=1，∴∠AOB=60°．
∴
AB
•
OA
=（
OB
-
OA
）
OA
=
OB
•
OA
-
OA
2=1×1cos60°-1=-
1
2
．
故选B．
参考解析：
AB
【简答题】
[3/922]已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=π2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若...
参考答案：
（1）依题意，设直线l：x+
3
y=
3
与椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由∠AOB=
π
2
，知x1x2+y1y2=0，而x1=
3
（1-y1），x2=
3
（1-y2），代入上式得到：4y1y2-3（y1+y2）+3=0①
由|AB|=2知：|y1-y2|=2，即|y1-y2|=1，
不妨设y1＞y2，则y2=y1+1，②
将②式代入①式求得：
y1=0
y2=1
或
y1=
1
2
y2=
3
2
，
∴A（
3
2
，
1
2
），B（-
3
2
，
3
2
）或A（
3
，0），B（0，1），
又A（
3
2
，
1
2
），B（-
3
2
，
3
2
）不合题意，舍去．
∴A（
3
，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为
x2
3
+y2=1．
（2）由题意知M、N是椭圆
x2
3
+y2=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），
于是r12（
cos2θ
3
+sin2θ）=1，r22（
sin2θ
3
+cos2θ）=1，
又（r12+r22）（
1
r 21
+
1
r 22
）=2+
r 21
r 22
+
r 22
r 21
≥4，
从而|MN|2•
4
3
≥4，即|MN|≥
3
，
故所求|MN|的最小值为
3
．
参考解析：
3
【简答题】
[4/922]△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2 OA+ AB+ AC= 0，| OA|=| AB|，则CA• CB=______．
参考答案：
∵2
OA
+
AB
+
AC
=
0
，∴
OA
+
AB
+
OA
+AC
=
0
，∴
OB
=-
OC
．
∴O，B，C共线，BC为圆的直径，∴AB⊥AC．
∵|
OA
|=|
AB
|，∴|
OA
|=|
AB
|=1，|BC|=2，|AC|=
3
，故∠ACB=
π
6
．
则
CA
•
CB
=
3
×2cos
π
6
=3，
故答案为：3．
参考解析：
OA
【简答题】
[5/922]已知平行四边形OABC中（O为原点）， 【图片】=(2，1)， 【图片】=(1，2)，则 【图片】· 【图片】=（　　） A．0 B．2 C．4 D．...
参考答案：
A
参考解析：
无
【简答题】
[6/922]设 【图片】是单位向量，且 【图片】，则 【图片】的值为 （    ）．
参考答案：
参考解析：
无
【简答题】
[7/922]设a，b，c均为单位向量，且a⊥ b，则( a+ c)•( b+ c)的最小值为（　　） A．-1B．1- 2C．2-2D．-2
参考答案：
∵
a
，
b
，
c
均为单位向量，且
a
⊥
b
，
不妨设
a
=（1，0），
b
=（0，1），
c
=（cosθ，sinθ），
∴(
a
+
c
)•(
b
+
c
)=cosθ2+sinθ2+cosθ+sinθ=1+（cosθ+sinθ）=1+
2
sin（θ+
π
4
），
∵-1≤sin（θ+
π
4
）≤1，
∴1-
2
≤(
a
+
c
)•(
b
+
c
)≤1+
2
，
故选B．
参考解析：
a
【简答题】
[8/922]设点P为△ABC的重心，若AB=2，AC=4，则AP• BC=______．
参考答案：
AP
•
BC
=（
BA
+
AC
）•
AP
=（
BA
+
AC
）•
1
3
（
AB
+
AC
）
=
1
3
（
AC
2-
AB
2）
=
1
3
（16-4）
=4
故答案为：4
参考解析：
AP
【简答题】
[9/922]已知平面上三个向量|a|=|b|=|c|=2，它们之间的夹角都是120°．（I）求a•c的值．（II）求证：（a-b）⊥c．
参考答案：
（I）
a
•
c
=|
a
||
c
|cos120°=2×2×(-
1
2
)=-2
（II）∵（
a
-
b
）•
c
=
a
•
c
-
b
•
c
=|
a
||
c
|cos120°-|
b
||
c
|cos120°
=2×2×(-
1
2
)-2×2×(-
1
2
)=0
∴（
a
-
b
）⊥
c
．
参考解析：
a
【简答题】
[10/922]如图所示，已知圆E：x2+（y﹣1）2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦M...
参考答案：
解：（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，﹣1），
又KMN=2，
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x﹣y﹣1=0．
∵圆心到直线MN的距离为，且r=2，
∴．
（2）因为yM+yN=0，所以yN=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，﹣1），N（±2，1）得
直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．
（3）易得，
设P（x，y），则由PAPB=PO2，得
，
化简得①
由题意知点P在圆E内，所以x2+（y﹣1）2＜4，
结合①，4y2﹣4y﹣3＜0，
解得．
从而=．
参考解析：
无
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