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数学归纳法题库
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高中数学>数学归纳法
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简介
高中数学-数学归纳法
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/310]求证 【图片】
参考答案：
| 证明： ①当n=1时，左边=2，右边=  ，等式成立；②假设当n=k时，等式成立， 即  则当n=k+1时，左边=  =（k+1）（k+2）（  k+1）= （k+1）（k+2）（k+3）即n=k+1时，等式也成立． 所以  对任意正整数都成立． |
参考解析：
无
【简答题】
[2/310]在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，...
参考答案：
解：（Ⅰ）由条件得 ，由此可得  ，猜测  ，用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立； ②假设当n=k时，结论成立，即  ，那么当n=k+1时，  ，所以当n=k+1时，结论也成立； 由①②，可知  对一切正整数都成立。（Ⅱ）  ， n≥2时，由（Ⅰ）知  ，故    ，综上，原不等式成立． |
参考解析：
无
【简答题】
[3/310]已知n为正偶数，用数学归纳法证明 【图片】时，若已假设n=k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ） A．n=k+1时等...
参考答案：
| B |
参考解析：
无
【简答题】
[4/310]首项为正数的数列{an}满足an+1= 【图片】（an2+3），n∈N*，(Ⅰ)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(Ⅱ)若对一切n∈N...
参考答案：
解：（Ⅰ）已知a1是奇数，假设 是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得  是奇数。根据数学归纳法，对任何n∈N+，an都是奇数。 （Ⅱ）由  知， ，当且仅当 ；另一方面，若  ，则 ；若  ，则 ，根据数学归纳法，  ；综合所述，对一切n∈N+都有  的充要条件是 。 |
参考解析：
无
【简答题】
[5/310]设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N+都有 【图片】。
参考答案：
| 证明：先证必要性： 设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立； 若d≠0， 则      ；再证充分性：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立， 首先，在等式  ，① 两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列， 记公差为d，则a2=a1+d， 假设ak=a1+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下二等式  ，②  ，③将②代入③，得  ，在该式两端同乘a1akak+1，得(k-1)  ，将ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd， 由数学归纳法原理知，对一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差为d的等差数列。 |
参考解析：
无
【简答题】
[6/310]函数 【图片】。定义数列 【图片】如下： 【图片】是过两点 【图片】的直线 【图片】与x轴交点的横坐标。（1）证明： 【图片】；（2）求数列 【图片】...
参考答案：
解：（1）因为 ，故点  在函数 的图像上，故由所给出的两点  ，可知，直线  斜率一定存在。故有直线  的直线方程为 ，令 ，可求得  所以  下面用数学归纳法证明  当  时， ，满足 假设  时， 成立，则当  时， ，由  即  也成立综上可知  对任意正整数恒成立。下面证明  由  由  ，故有  即  综上可知  恒成立。（2）由  得到该数列的一个特征方程 即 ，解得 或   ①  ②两式相除可得  ，而 故数列  是以 为首项以 为公比的等比数列 故  。 |
参考解析：
无
【简答题】
[7/310]已知数列{an}中， 【图片】（n∈N*），记 【图片】。（1）写出{bn}的前三项；（2）猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）令 ...
参考答案：
解：（1） ；（2）  ；数学归纳法证明“略”； （3）  ； = 。 |
参考解析：
无
【简答题】
[8/310]用数学归纳法证明不等式2n＞n2时，第一步需要验证n0=（ ）时，不等式成立． A．5 B．2和4 C．3 D．1
参考答案：
| A |
参考解析：
无
【简答题】
[9/310]用数学归纳法证明：x2n-1-y2n-1能被x-y整除．（n∈N*）
参考答案：
| 证：①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k时结论成立，即x2k-1-y2k-1能被x-y整除 则当n=k+1时， x2k+1-y2k+1=x2x2k-1-y2y2k-1 =x2x2k-1-x2y2k-1+x2y2k-1-y2y2k-1 =x2（x2k-1-y2k-1）+（x2-y2）y2k-1 ∴x2k+1-y2k+1也能被x-y整除 故当n=k+1时结论也成立． 由①、②可知，对于任意的n∈N*，x2n-1-y2n-1能被x-y整除． |
参考解析：
无
【简答题】
[10/310]设数列{an}的前n项和为Sn，且S2n-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…。（1）求a1，a2；（2）求Sn的表达式。
参考答案：
解：（1）当n=1时，由已知得 ，解得  ，同理，可解得  。（2）由题设  当n≥2（n∈N*）时，  代入上式得  由（1）可得  由（*）可得  ，由此猜想  ，证明：①当n=1时，结论成立； ②假设当n=k（k∈N*）时结论成立， 即  ，那么当n=k+1时，由（*）得  ，∴  所以当n=k+1时结论也成立， 根据①和②可知，  对所有正整数n都成立，因此  。 |
参考解析：
无
