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数学归纳法题库
题数
310
考试分类
高中数学>数学归纳法
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简介
高中数学-数学归纳法
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题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/310]求证 【图片】
参考答案:
证明:
①当n=1时,左边=2,右边=,等式成立;
②假设当n=k时,等式成立,

则当n=k+1时,左边=
=(k+1)(k+2)(k+1)=(k+1)(k+2)(k+3)
即n=k+1时,等式也成立.
所以对任意正整数都成立.
参考解析:
【简答题】
[2/310]在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,...
参考答案:
解:(Ⅰ)由条件得
由此可得
猜测
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立;
②假设当n=k时,结论成立,即
那么当n=k+1时,

所以当n=k+1时,结论也成立;
由①②,可知对一切正整数都成立。
(Ⅱ)
n≥2时,由(Ⅰ)知



综上,原不等式成立.
参考解析:
【简答题】
[3/310]已知n为正偶数,用数学归纳法证明 【图片】时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证(   ) A.n=k+1时等...
参考答案:
B
参考解析:
【简答题】
[4/310]首项为正数的数列{an}满足an+1= 【图片】(an2+3),n∈N*,(Ⅰ)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;(Ⅱ)若对一切n∈N...
参考答案:
解:(Ⅰ)已知a1是奇数,假设是奇数,其中m为正整数,
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法,对任何n∈N+,an都是奇数。
(Ⅱ)由知,,当且仅当
另一方面,若,则
,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切n∈N+都有的充要条件是
参考解析:
【简答题】
[5/310]设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0,证明,{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N+都有 【图片】。
参考答案:
证明:先证必要性:
设数列{an}的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立;
若d≠0,




再证充分性:(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立,
首先,在等式,①
两端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,
记公差为d,则a2=a1+d,
假设ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时,观察如下二等式
,②
,③
将②代入③,得
在该式两端同乘a1akak+1,得(k-1)
将ak=a1+(k-1)d代入其中,整理,得ak+1=a1+kd,
由数学归纳法原理知,对一切n∈N+,都有an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差为d的等差数列。
参考解析:
【简答题】
[6/310]函数 【图片】。定义数列 【图片】如下: 【图片】是过两点 【图片】的直线 【图片】与x轴交点的横坐标。(1)证明: 【图片】;(2)求数列 【图片】...
参考答案:
解:(1)因为
故点在函数的图像上,
故由所给出的两点
可知,直线斜率一定存在。
故有直线的直线方程为,令
可求得
所以
下面用数学归纳法证明
时,,满足
假设时,成立,
则当时,

也成立
综上可知对任意正整数恒成立。
下面证明


故有

综上可知恒成立。
(2)由得到该数列的一个特征方程
,解得    ①    
两式相除可得,而
故数列是以为首项以为公比的等比数列

参考解析:
【简答题】
[7/310]已知数列{an}中, 【图片】(n∈N*),记 【图片】。(1)写出{bn}的前三项;(2)猜想数列{bn}的通项公式,并用数学归纳法证明;(3)令 ...
参考答案:
解:(1)
(2)
数学归纳法证明“略”;
(3)
=
参考解析:
【简答题】
[8/310]用数学归纳法证明不等式2n>n2时,第一步需要验证n0=(  )时,不等式成立. A.5 B.2和4 C.3 D.1
参考答案:
A
参考解析:
【简答题】
[9/310]用数学归纳法证明:x2n-1-y2n-1能被x-y整除.(n∈N*)
参考答案:
证:①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即x2k-1-y2k-1能被x-y整除
则当n=k+1时,
x2k+1-y2k+1=x2x2k-1-y2y2k-1
=x2x2k-1-x2y2k-1+x2y2k-1-y2y2k-1
=x2(x2k-1-y2k-1)+(x2-y2)y2k-1
∴x2k+1-y2k+1也能被x-y整除
故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,x2n-1-y2n-1能被x-y整除.
参考解析:
【简答题】
[10/310]设数列{an}的前n项和为Sn,且S2n-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3,…。(1)求a1,a2;(2)求Sn的表达式。
参考答案:
解:(1)当n=1时,由已知得
解得
同理,可解得
(2)由题设
当n≥2(n∈N*)时,
代入上式得
由(1)可得
由(*)可得
由此猜想
证明:①当n=1时,结论成立;
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,

那么当n=k+1时,由(*)得

所以当n=k+1时结论也成立,
根据①和②可知,对所有正整数n都成立,
因此
参考解析:
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