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题目16. 下列二次型中，正定二次型的个数是：(1) \(x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)(2) \(x_1^2-2x_2^2+3x_3^2\)(3) \(99x_1^2-12x_1x_2+48x_1x_3+130x_2^2-60x_2x_3+71x_3^2\)(4) \(\Sigma_{i=1}^nx_i^2+\Sigma_{1\leq i\prec j\leq n}x_ix_j\)，记号\(\prec\)表示“小于”

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题目标签：二次型定二次型正定二次型

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【简答题】成教云: 已知二次型的秩为2求C的值attachments/

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【单选题】用配方法将二次型化为标准形，所用的线性替换矩阵是（）.

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【判断题】二次型经非退化线性替换X=CY化为二次型 , 其中A,B 是对称矩阵,则A与B 等价

正确

错误

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【简答题】设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

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【简答题】判定f（x1，x2，x3）=4x12+3x22+5x32-4x1x2-4x1x3是否为正定二次型。

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【简答题】已知矩阵A=，则对应的二次型f(x1,x2,x3)=_________.

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【简答题】设为正定二次型，则t的取值范围是______．

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【简答题】已知三元二次型x T Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，-1) T 满足Aα=2α．求x T Ax的表达式．

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【单选题】实二次型【图片】是（）

正定二次型

半正定二次型

半负定二次型

不定二次型

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【简答题】设有n元实二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +…+(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中a(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a 1 ，a 2 ，…，a n 满足何种条件时，二次型f为正定二次型．

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【单选题】实二次型`\f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2`的秩为（）

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【判断题】数域上的任意元二次多项式都是数域上的一个元二次型。

正确

错误

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【单选题】设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T Ax与X T A —1 X( )．

规范形与标准形都不一定相同

规范形相同但标准形不一定相同

标准形相同但规范形不一定相同

规范形和标准形都相同

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【判断题】如果两个二次型是等价的,则它们的矩阵一定合同。

正确

错误

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【简答题】设有n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数.试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?

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【简答题】设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．

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【判断题】任何实二次型都存在可逆变换将其化为标准形。

正确

错误

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【简答题】二次型f（x1，x2，x3）=x1x2+6x22的矩阵为（）。

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【判断题】实二次型 f , g 具有相同的规范形,则 f 的正惯性指数 =g 的正惯性指数 .

正确

错误

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【判断题】二次型的规范形是是唯一的。

正确

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【单选题】实二次型【图片】是（）

正定二次型

半正定二次型

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【单选题】实二次型`\f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2`的秩为（）

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【判断题】数域上的任意元二次多项式都是数域上的一个元二次型。

正确

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【单选题】设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T Ax与X T A —1 X( )．

规范形与标准形都不一定相同

规范形相同但标准形不一定相同

标准形相同但规范形不一定相同

规范形和标准形都相同

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【判断题】如果两个二次型是等价的,则它们的矩阵一定合同。

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【简答题】设有n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数.试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?

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【简答题】设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．

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【判断题】任何实二次型都存在可逆变换将其化为标准形。

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【简答题】二次型f（x1，x2，x3）=x1x2+6x22的矩阵为（）。

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【判断题】实二次型 f , g 具有相同的规范形,则 f 的正惯性指数 =g 的正惯性指数 .

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【判断题】二次型的规范形是是唯一的。

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题目16. 下列二次型中，正定二次型的个数是：(1) \(x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)(2) \(x_1^2-2x_2^2+3x_3^2\)(3) \(99x_1^2-12x_1x_2+48x_1x_3+130x_2^2-60x_2x_3+71x_3^2\)(4) \(\Sigma_{i=1}^nx_i^2+\Sigma_{1\leq i\prec j\leq n}x_ix_j\)，记号\(\prec\)表示“小于”

【简答题】成教云: 已知二次型的秩为2求C的值attachments/

【单选题】用配方法将二次型化为标准形，所用的线性替换矩阵是（ ）.​​

【判断题】二次型 经非退化线性替换X=CY化为二次型 , 其中A,B 是对称矩阵,则A与B 等价

【简答题】设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， (Ⅰ)求二次型f的秩； (Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．

【简答题】判定f（x1，x2，x3）=4x12+3x22+5x32-4x1x2-4x1x3是否为正定二次型。

【简答题】已知矩阵A=，则对应的二次型f(x1,x2,x3)=_________.

【简答题】设 为正定二次型，则t的取值范围是______．

【简答题】已知三元二次型x T Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，-1) T 满足Aα=2α． 求x T Ax的表达式．

【单选题】实二次型【图片】是（）

【简答题】设有n元实二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +…+(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中a(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a 1 ，a 2 ，…，a n 满足何种条件时，二次型f为正定二次型．

【单选题】实二次型`\f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2`的秩为 （ ）

【判断题】数域上的任意元二次多项式都是数域上的一个元二次型。

【单选题】设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T Ax与X T A —1 X( )．

【判断题】如果两个二次型是等价的,则它们的矩阵一定合同。

【简答题】设有n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数.试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?

【简答题】设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．

【判断题】任何实二次型都存在可逆变换将其化为标准形。

【简答题】二次型f（x1，x2，x3）=x1x2+6x22的矩阵为（）。

【判断题】实二次型 f , g 具有相同的规范形,则 f 的正惯性指数 =g 的正惯性指数 .

【判断题】二次型的规范形是是唯一的。

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【判断题】二次型经非退化线性替换X=CY化为二次型 , 其中A,B 是对称矩阵,则A与B 等价

【简答题】设为正定二次型，则t的取值范围是______．

【简答题】已知三元二次型x T Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，-1) T 满足Aα=2α．求x T Ax的表达式．

【单选题】实二次型`\f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2`的秩为（）