数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；
（II）求{an}的通项公式．
（III）由数列{an}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{bn}，求limn→∞bn+1bn的值．