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【简答题】

设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
，z∈H，(6)
，x∈H。(7)

题目标签：紧算子正交序列标准正交序列
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【简答题】对于n=0，1，2，…，令xn(t)=e-t/2tn。设{un}为由{xn}出发在L2(0，∞)上由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的L2(0，∞)的标准正交序列。求证：{un}为L2(0，∞)的标准正交基。[Ln(t)=et/2un(t)为多项式，称为n阶Laguerre多项式。]
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【简答题】设{u n }为Hilbert空间H的标准正交序列，Y=span{u n }及x∈H。求证下述命题相互等价： (a) (b) (c)
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【简答题】设H为无穷维Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证：(a)若{kn}为有界的，则，x∈H定义了BL(H)中一元。(b)A为紧的当且仅当kn→0(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
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【简答题】设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证： (a)A为紧算子当且仅当A * A为紧算子。 (b)若A为紧的，则A * 为紧的。
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【简答题】举例说明存在有界线性但非紧的算子T使得T2是紧算子甚至是有限秩算子.
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【简答题】设1≤p≤∞，{an}是收敛于0的数列，线性算子T：lp→lp定义为T{xn}={anxn}．证明T是紧算子．
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【简答题】设X是复Banach空间， ，g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子．又设σ(T)是不可数集．证明g在某点的邻域内必为常数函数．
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【简答题】设H是复Hilbert空间， 为自共轭算子，{E λ }是T的谱系，ε＞0，Ω ε ={λ∈σ(T)：|λ|≥ε}．证明：T是紧算子当且仅当对任意的ε＞0，有T ε = λdE λ 是有界的有限秩算子．
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【简答题】设x∈l 2 ，对n=1，2，…，设 求证：A：l 2 →l 2 为有界线性算子，但A不为紧算子。
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