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【判断题】

任意一个内积空间都可以定义范数使之成为赋范线性空间。

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题目标签：赋范线性空间内积空间线性空间

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参考答案：

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【判断题】任何赋范线性空间的共轭空间都是Banach空间

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【判断题】R上连续函数构成的线性空间中， sinx, cosx 线性无关

正确

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【简答题】设M与N是内积空间X中的两个子集证明若M⊆M⊥

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【简答题】若M为内积空间X的非空子集。求证：M的正交补为X的闭子空间。

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【简答题】设A是线性空间X中的子集，证明C0（A）={α1x1+...+αnxn∈X∶n是任意自然数，xk∈A,αk≥0且αk=1}。

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【判断题】完备的内积空间被称为Hilbert空间。（）

正确

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【简答题】证明赋范线性空间中的任一开球S(x，r)是凸开集(赋范线性空间X中的集合A称为凸的，如果，x2∈A，t∈[0，1]，都有tx1+(1-t)x2∈A)

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【多选题】对线性空间$R^{2}$中以下函数$f$，不是线性函数的有 ( ).

$f(x_{1},x_{2})=4x_{1}+x_{2}log_{3}8$

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}+4x_{2}+4$

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$

$f(x_{1},x_{2})=sin (x_{1})+cos( x_{2})$

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【判断题】设是线性空间V的一组基,则也是V的一组基.

正确

错误

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【判断题】设是数域上的线性空间的子空间,则不是的子空间。（）

对

错

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【判断题】数域P上的任意线性空间至少含有2个子空间。

正确

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【单选题】线性空间P[x]n的维数是（）

n+1

n-1

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【判断题】赋范线性空间中的任一凸集的内部不一定是开凸集

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【简答题】证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A=0的充要条件为对所有x∈H，成立=0

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【简答题】设V为n维线性空间，σ，τ∈L(V)，且στ=τσ，则σV，σ-1(0)均为τ-子空间．故τV，τ-1(0)均为σ-子空间．

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【简答题】线性空间中,矩阵在基下的坐标为。在基下的坐标为。

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【简答题】设X是内积空间，证明：由内积诱导的范数满足平行四边形公式．

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【判断题】内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.

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【简答题】设x，y，z为内积空间X中的元。求证Appolonius等式：t‖x-y‖2+(1-t)‖x-z‖2=‖x-u‖2+t(1-t)‖y-z‖2，其中u=ty+(1-t)z，。由此推出

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【简答题】设X是一个内积空间，(.,.)为内积，是x的一个n空间．f∈x，对，1≤i，j≤n，b i =(f， )，1≤i≤n，矩阵A=[a ij ]，b=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T ． 1)证明：线性方程组Ax=b存在唯一解； 2)如果P满足‖f-p‖= ‖f-q‖证明：c 1 ，c 2 ，…，c n 是线性方程组Ax=b的解．

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$f(x_{1},x_{2})=4x_{1}+x_{2}log_{3}8$

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$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$

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【简答题】设X是一个内积空间，(.,.)为内积，是x的一个n空间．f∈x，对，1≤i，j≤n，b i =(f， )，1≤i≤n，矩阵A=[a ij ]，b=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T ． 1)证明：线性方程组Ax=b存在唯一解； 2)如果P满足‖f-p‖= ‖f-q‖证明：c 1 ，c 2 ，…，c n 是线性方程组Ax=b的解．

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参考解析：

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任意一个内积空间都可以定义范数使之成为赋范线性空间。

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【简答题】设x，y，z为内积空间X中的元。求证Appolonius等式：t‖x-y‖2+(1-t)‖x-z‖2=‖x-u‖2+t(1-t)‖y-z‖2，其中u=ty+(1-t)z，。由此推出

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【判断题】设是线性空间V的一组基,则也是V的一组基.

【判断题】设是数域上的线性空间的子空间,则不是的子空间。（）

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