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> 赋范线性空间
"赋范线性空间"相关考试题目
1.
为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。（ ）
2.
赋范线性空间一定是距离空间。
3.
设E是赋范线性空间，L是E的闭子空间．在 中令 证明： 按照‖·‖是赋范线性空间。若E可分，则 也可分．任取x∈ξ，证明‖ξ‖=d(x，L)，这里d(x，L)表示x与L的距离。
4.
有限维赋范线性空间一定是Banach 空间。
5.
设X为赋范线性空间，xn，yn，x，y∈X（n∈N+）.若数列λn→λ，且xn→x，yn→y（n→∞）.证明：
6.
设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得g(kx+y)=kg(z)+g(y)，(4)其中x，y和kx+y属于S，k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。
7.
证明赋范线性空间中的任一开球S(x，r)是凸开集(赋范线性空间X中的集合A称为凸的，如果，x2∈A，t∈[0，1]，都有tx1+(1-t)x2∈A)
8.
设Tn∈（X，Y）（n=1，2，...），其中X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每个x∈X，{Tnx}都收敛，令Tx=，证明T是X到Y中有界线性算子，并且||T||＜
9.
若在赋范线性空间中，任何级数的绝对收敛总能得出级数收敛，则该空间是完备的。
10.
设X是赋范线性空间,E是X的一个子集,映射T映E到X,称它是紧映射,如果它是连续的并且映E中任何有界集为X中的列紧集。
11.
证明：赋范线性空间中的任一开球S（x0，r）是凸开集（赋范线性空间X中的集合称为凸的，若∀x1，x2∈A，t∈[0，1]，都有tx1+（1-t）x2∈A.
12.
若在赋范线性空间中,任何级数的绝对收敛总能得出级数收敛,是该空间完备的() 条件
13.
X，Y是赋范线性空间，f是X到Y的连续映射，若A在X中稠密，则f(A)在Y中稠密
14.
证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的
15.
设E是赋范线性空间，L是E的闭子空间．在中令证明：按照‖·‖是赋范线性空间。若E可分，则也可分．任取x∈ξ，证明‖ξ‖=d(x，L)，这里d(x，L)表示x与L的距离。
16.
X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则f连续的充要条件是f的核空间是X的闭线性子空间。（ ）
17.
Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。（ ）
18.
设L1，L2，…，Ln都是赋范线性空间，E=L1?L2?…?Ln。证明：E按照下面定义的范数均为赋范线性空间：‖x‖=‖x1‖+‖x2‖+…+‖xn‖，‖x‖1=max{‖x1‖，‖x2‖，…，‖xn‖}若L1，L2，…，Ln都是巴拿赫空间，证明E按上述3种范数都是巴拿赫空间。
19.
设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得 g(kx+y)=kg(z)+g(y)， (4) 其中x，y和kx+y属于S，k在 中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。
