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> 可测函数
"可测函数"相关考试题目
1.
设K(x，y)是Rn×Rn上的可测函数，且有，a.e.X∈Rn；，a.e.x∈Rn，令，试证明Tf∈Lp(Rn)，且‖Tf‖p≤C‖f‖p(f∈Lp(Rn)．
2.
设中边值问题 的古典解．v(x，t)是有界可测函数，v(x，t)满足估计|v|≤C，C＞0是给定常数． 是否可以选择函数v(x，t)，使得对所有的t＞t*有u(x，t)三0？其中t*是某个正的常数．
3.
试证明：设f(x)是(0，∞)上的可测函数，则F(x，y)=f(y/x)在(0，∞)×(0，∞)上可测．
4.
设f(x)是以2π为周期的实有限可测函数，若f(x)又有周期1，试证：f(x)几乎处处为常数。这样的函数是否必为常数?
5.
设 是可测集 上的非负可测函数,且 ,则 在 上勒贝格可积。 ( )
6.
非负可测函数列的极限与积分次序可以交换。
7.
试证明： 设f(x)是E上正值可测函数，a＞1，则a f(x) 在E上可积的充分必要条件是： ．
8.
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x，y)是在平面区域-∞＜x＜∞，0≤y＜ω上的有界可测函数，且是变数y的周期函数，其周期为ω又设K(x，λx)对于每一个充分大的λ而言，都是-∞＜x＜∞上的可测函数．则对于任意一个莱贝克可积函数f(x)，下面的公式常常成立： [徐利治]
9.
设 为 可测集 上几乎处处有限的可测函数, 则 在 上“基本”上连续 。( )
10.
一个几乎处处收敛的可测函数列基本上一致收敛 . ( )
11.
任意的可测函数都可表示为简单函数列的极限
12.
设f(x)是上的实值可测函数，若存在M∈R1，使得m({x∈E：f(x)≥M})≥1/2，m({x∈E：f(x)≤M})≥1/2，则称M为f的分布函数的中点，试问中点是唯一的吗?
13.
设 是可测集 上的非负可测函数, 则 在 上勒贝格可积。 ( )
14.
几乎处处收敛的可测函数列一定是依测度收敛的。
15.
可测函数列的上确界、下确界仍为可测函数
16.
若 为可测集 上的可测函数列, ,则函数 为 上的可测函数
17.
证明实可测函数序列的收敛点集(极限值是有限的)是可测集。
18.
设f是有限可测函数，则有可测函数列{fn}，使fnf（n→∞）且每个fn取可数个值。
19.
试证明： 设f(x)是R 1 上的实值可测函数，F(x，y)是R 2 上的连续函数．若有 |f(x+y)|≤F(f(x)，f(y))，x，y∈R 1 ， 则f(x)在有界集上是有界函数．
20.
设f(x) 是E 上的可测函数,则f(x) 是某个可测简单函数序列的极限函数 .
21.
若对任一有理数r,设集合E[f=r]可测,则f(x)是可测函数。
22.
若非负可测函数f(x)在E上有界且,则f(x)在E上可积。
23.
设是上的可测函数列，则在上收敛的点集不一定是可测集。
24.
试证明：设f(x)，f1(x)，…，fk(x)，…是[a，b]上几乎处处有限的可测函数，且有，a．e．x∈[a，b]，则存在(n=1，2，…)，使得，而{fk(x)}在每个En上一致收敛于f(x)．
25.
试证明：设{fk(x)}是上的非负可测函数列，且m(E)＜∞，则{fk(x)}依测度收敛于零(函数)的充分必要条件是：．
26.
试证明：设f(x)，g(x)是Rn上的实值可测函数．(i)则M(x)=max{f(x)，g(x)}，m(x)=min{f(x)，g(x)}是可测函数．(ii)若f(x)＞0，则f(x)g(x)是可测函数．
27.
设(Ω， ，E)为复Hilbert空间H上的谱测度空间，E为 上的谱测度设f为(Ω， )上的有界可测函数，T= fdE证明：λ∈ρ(T)的充要条件是存在D∈ ，E(D)=θ，使 |f(t)-λ|＞0．
28.
设f是[0，2π]上的可测函数，若（L）|f（x）|ln（1+|f（x）|）dx<+∞，求证f∈L[0，2π]
29.
设f是X上的复可测函数．μ是X上的正测度并且设E={p：φ(p)＜∞}，并假设‖f‖∞＞0．
30.
可测集上的的连续函数不一定是可测函数
31.
可测函数空间 中的按距离收敛本质上是依测度收敛
32.
设f是有界可测函数，则有简单函数列{φn}，使φnf（n→∞），且|φn|≤|f|
33.
试证明： 设f(X)是I=[0，1]上的非负可测函数，则f(x)在I上可积的充分必要条件是： .
34.
设f是E上的可测函数，E1是E的一个可测子集，证明f在E1上也是可测函数
35.
设 ,在 上 有限的可测函数列 : ,则
36.
定义在可测集 上的连续函数一定是可测函数,但可测函数未必为连续函数
37.
设f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m(E)＜∞，若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)}，试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x)．
38.
试证明：若f(x)是Rn上的可测函数，则f(x-y)是Rn×Rn上的可测函数．
39.
设f(x)是E上的可测函数，B是R中的博雷尔集。试证：f-1(B)是可测集。又当B是任意可测集时，f-1(B)是否仍可测?
40.
设{fn(x)}是[a，b]上的可测函数列，f(x)是[a，b]上的实值函数．若对任给的ε＞0，都有，试问f(x)是[a，b]上的可测函数吗?
41.
设有指标集I，{fα(x)：α∈I}是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=sup{fα(x):α∈I}在Rn上是可测的吗?
42.
设f是可测集E上的可测函数，它使积分∫f(x)g(x)dm对任何g∈L2(E)都存在为有限。试证：f∈L2(E)。
43.
设有定义在上的可测函数列：。若在上依测度收敛于，则在上几乎处处收敛于。
44.
设f：X→[-∞，∞]与g：X→[-∞，∞]是可测函数，证明{x：f(x)＜g(x)}与{x：f(x)=g(x)}都是可测集．
45.
试证明： 设f(x)是[0，1]上的正值可测函数， 是可测点集列．若有 ，则 ．
46.
狄利克雷函数是可测函数
47.
关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( )
48.
设{fk(x)}是[a，b]上的实值可测函数列，试证明存在正数列{ak}，使得，a.e.x∈[a,b].
49.
积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分。()
50.
设f(x)是(a，b)上的可测函数，试问何时其分布函数F(t)在t0∈(a，b)处连续?
