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> 自然同态
"自然同态"相关考试题目
1.
设R为环,NR,证明:在自然同态R~R/N之下,R的理想H的象为(H+N)/N。
2.
设N是群G的一个正规子群,又N⊆H≤G.证明:H在G到G/N的自然同态下的象为H/N.
3.
设π是Z到Zm的自然同态,定义Z[x]到Zm[x]的映射为证明:x3+17x+36在Q[x]中不可约
4.
给定代数结构V=,其中A={a1,a2,a3,a4,a5},ˉ和′是一元运算,运算表为: 设R和A中的等价关系,使A的划分为{{a1},{a2,a3},{a3,a4}}。试证R是V中的同余关系,并给出商代表V/R的集合和运算表以及V到V/R的自然同态。
5.
设π是Z到Zm的自然同态,定义Z[x]到Zm[x]的映射为 证明:设f(x)∈Z[x],degf(x)=n,又f(x)在Zm[x]中不能分解为两个次数小于n的多项式的积,则f(x)是Q[x]中不可约多项式.
6.
设R为环,.证明: 1)R/N中的理想都具有形状K/N,其中K是R的含N的理想; 2)在自然同态R~R/N之下,R的理想H的象为(H+N)/N.
7.
设π是Z到Zm的自然同态,定义Z[x]到Zm[x]的映射为证明:是同态映射
8.
设H设N是群G的一个正规子群,又≤G.证明:H在G到G/N的自然同态下的象为H/N.设N是群G的一个正规子群,又≤G.证明:H在G到G/N的自然同态下的象为H/N.
9.
设N是群G的一个正规子群,又 ≤G.证明:H在G到G/N的自然同态下的象为H/N.