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> 希尔伯特空间
"希尔伯特空间"相关考试题目
1.
是二维希尔伯特空间中的一组正交归一基,对于可观测量算子 下面说法正确的是?
2.
H为Hadmard门,那么 是作用在维希尔伯特空间上的算子
3.
设{ek},{e'k}(k=1,2,…)是希尔伯特空间中的两个规范正交系,满足。证明:当{ek},{e'k}中之一完备时,另一个也是完备的。
4.
设丁是复希尔伯特空间上的自伴算子,{Eλ)为T的谱族,证明:T的值域的闭包是
5.
球谐函数应构成希尔伯特空间的一组基底。 ( )
6.
希尔伯特空间
7.
设T是可分希尔伯特空间上的有界线性算子,{en}为中完备的规范正交系。若对任何m,n,有,则T自伴。
8.
设T1,T2是希尔伯特空间两个自伴算子,则T1和T2自伴的充要条件是T1*T2=T2*T1
9.
关于希尔伯特空间,下列说法错误的是( )
10.
每一个可分的无穷维希尔伯特空间与下列哪个空间同构。
11.
设u1,u2,…,un…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x1,x2…,xn,…}的全体:∑n=1∞‖xn‖2<∞在u中适当地定义线性运算并对x,y∈u定义(x,y)=∑n=1∞(xn,yn),这里x={x1,x2,…,xn…},y={y1,y2,…,yn…},证明:U是一个内积空间;若所有u0都是希尔伯特空间,则u也是希尔伯特空间。
12.
设丁是复希尔伯特空间 上的自伴算子,{E λ )为T的谱族,证明:T的值域的闭包是
13.
Q表象:以Q的正交归一完备的本征矢量为基矢构成的一个希尔伯特空间,这个空间可以是无穷维的甚至是不可数的
14.
在给定内积意义下,施图姆-刘维尔本征函数张成的线性空间是无穷维希尔伯特空间。
15.
设为希尔伯特空间,是线性无关的,则将{yk}规范正交化所得的规范正交系{ek}由下式给出:其中G0=1,Gk=G(y1,y2,…,yk),函数G的定义
16.
证明:可分希尔伯特空间中的规范正交系最多是可列的。
17.
在量子力学中,我们用希尔伯特空间中的向量描述什么?
18.
设f是希尔伯特空间 的子空间G上的有界线性泛函,则f在 上存在惟一的延拓F,满足‖F‖=‖f‖ G
19.
令H表示如下函数x(·)全体:x∈L[0,2π],且∑n=1∞(an2+bn2)<+∞令证明:H是希尔伯特空间
20.
设A是复内积空间 上的有界线性算子,如果对每个 ,(Ax,x)=0,则A=0。对于实空间,此结果成立否?如果 是希尔伯特空间且A是自伴的,则不论 是实或复空间,只要 就有A=0。
21.
设S与T是希尔伯特空间H上的线性算子,若在H上存在酉算子U,使得 S=Uimages/tu -1 =Uimages/tu * 则称算子S与T是酉等价的。若T是自伴的,证明S也是自伴的。
22.
设T为定义在希尔伯特空间 上的有界线性算子,令 为T的零空间, 为T * 的值域,证明:
23.
是二位希尔伯特空间中正交归一的基失,那么是:
24.
设S与T是希尔伯特空间H上的线性算子,若在H上存在酉算子U,使得S=Uimages/tu-1=Uimages/tu*则称算子S与T是酉等价的。若T是自伴的,证明S也是自伴的。
25.
设L1,L2是希尔伯特空间的子空间,L1⊥L2,L=1?L2(即L1与L2的直接和)。证明:L是的闭子空间的充要条件是L1,L2均为的闭子空间。
26.
设A是复内积空间上的有界线性算子,如果对每个,(Ax,x)=0,则A=0。对于实空间,此结果成立否?如果是希尔伯特空间且A是自伴的,则不论是实或复空间,只要就有A=0。
27.
设为希尔伯特空间,求证:(1)这里K为复数域,x,y1,y2,…yn为中元素,而(2)对任意的m<n,有(0≤k≤m-1)G(y1,y2,…,yn)≤G(y1,y2,…,ym)G(ym+1,…,yn),G(y1,y2,…,yn)≤G(y1)G(y2)…G(yn)
28.
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子,证明 下列命题等价:(1)P是投影算子;(2)P2=P且P是自共伴算子;(3)P2=P,且N(P)上R(P);(4)若H是复空间,则还等价于(Px,x)=‖Px‖2,x∈H
29.
设{en}是希尔伯特空间中的规范正交系,{λ)→0(n→∞),且每个λn是实数。令Tx=∑n=1∞λn(x,en)en,则T是紧自伴算子。
30.
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子, 证明 下列命题等价: (1)P是投影算子; (2)P 2 =P且P是自共伴算子; (3)P 2 =P,且N(P)上R(P); (4)若H是复空间,则还等价于 (Px,x)=‖Px‖ 2 ,x∈H
31.
设A,B是希尔伯特空间 上的线性算子,满足 (Ax,y)=(x,By), 其中 ,则A,B均有界。
32.
设u 1 ,u 2 ,…,u n …是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x 1 ,x 2 …,x n ,…}的全体: ∑ n=1 ∞ ‖x n ‖ 2 <∞ 在u中适当地定义线性运算并对x,y∈u定义 (x,y)=∑ n=1 ∞ (x n ,y n ), 这里x={x 1 ,x 2 ,…,x n …},y={y 1 ,y 2 ,…,y n …},证明:U是一个内积空间;若所有u 0 都...
33.
设H2是满足∑n=0∞|an|<∞且在单位圆{z:|z|<1}内解析函数f(x)=∑n=0∞anzn的全体。在H2中适当定义线性运算,然后定义内积:证明:H2是可分的希尔伯特空间。若{en}是H2中一完备正交系,证明当|z1|<1,|z2|<1时,
34.
历史上第一个具体的无穷维空间是希尔伯特空间。()
35.
设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且令Tx=y:ηn=αnξn,n=1,2,…,其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证明:σ(T)等于{αn}的闭包,每个αn是T的特征值,且T的谱族{Eλ]由下式给出:
36.
是二维希尔伯特空间中的一组正交归一基,对于可观测量 算子, 下列说法正确的是
37.
设 上为复希尔伯特空间,T为 上的有界线性算子,若对一切 ,Re(Tx,x)=0,则T=-T *
38.
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足(Ax,y)=(x,By),其中,则A,B均有界。
39.
设 是希尔伯特空间,M是 的子集,证明:(M ⊥ ) ⊥ 是包含M的最小闭子空间。