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> 双线性泛函
"双线性泛函"相关考试题目
1.
设X为线性空间，φ： 为对称正共轭双线性泛函，且q(x)=φ(x，x)。求证： (a)对所有x，y∈X有|φ(x，y)| 2 ≤q(x)q(y) (b) 为X上的半范数，即对所有x，y∈X， 有 P(x)≥0， (3) p(kx)=|k|P(x)， (4) p(x+y)≤p(x)+p(y)。 (5) (c){x∈X：q(x)=0}={x∈X：任取y有φ(x，y)=0}
2.
设X和Y为赋范空间，φ： 为共轭双线性泛函。对x∈X， y∈Y，令 求证： (a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。 (b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有f y ∈X'，f x ∈Y' (c)若任取x∈X，y∈Y，有f y ∈X'，f x ∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
3.
设X为线性空间，φ：为对称正共轭双线性泛函，且q(x)=φ(x，x)。求证：(a)对所有x，y∈X有|φ(x，y)|2≤q(x)q(y)(b)为X上的半范数，即对所有x，y∈X，有P(x)≥0，(3)p(kx)=|k|P(x)，(4)p(x+y)≤p(x)+p(y)。(5)(c){x∈X：q(x)=0}={x∈X：任取y有φ(x，y)=0}
4.
设X和Y为赋范空间，φ：为共轭双线性泛函。对x∈X，y∈Y，令 求证：(a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。(b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有fy∈X'，fx∈Y'(c)若任取x∈X，y∈Y，有fy∈X'，fx∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
5.
设φ： 为 K上线性空间X上的共轭双线性泛函，又 q(x)=φ(x，x)， x∈X 为γ诱导的二次型，求证： (a)2φ(x，y)+2φ(y，x)=q(x+y)-q(x-y) (b)若 ，则 4φ(x，y)=q(x+y)-q(x-y)+iq(x+iy)-iq(x-iy) (c)若 或 ，φ为对称的，则 4Reφ(x，y)=q(x+y)-q(x-y)
6.
设φ：为K上线性空间X上的共轭双线性泛函，又q(x)=φ(x，x)，x∈X为γ诱导的二次型，求证：(a)2φ(x，y)+2φ(y，x)=q(x+y)-q(x-y)(b)若，则 4φ(x，y)=q(x+y)-q(x-y)+iq(x+iy)-iq(x-iy)(c)若或，φ为对称的，则4Reφ(x，y)=q(x+y)-q(x-y)
7.
设X为线性空间，φ： 为对称正共轭双线性泛函，且q(x)=φ(x，x)。求证： (a)对所有x，y∈X有|φ(x，y)| 2 ≤q(x)q(y) (b) 为X上的半范数，即对所有x，y∈X， 有 P(x)≥0， (3) p(kx)=|k|P(x)， (4) p(x+y)≤p(x)+p(y)。 (5) (c){x∈X：q(x)=0}={x∈X：任取y有φ(x，y)=0}
